Question

15．已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则$\frac{2x+y}{xy}$的最小值为$\frac{1}{2}（7+2\sqrt{6}）$．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x，y均为正实数，且x+3y=2，
则$\frac{2x+y}{xy}$=$\frac{1}{2}（x+3y）$$（\frac{2}{y}+\frac{1}{x}）$=$\frac{1}{2}（7+\frac{2x}{y}+\frac{3y}{x}）$≥$\frac{1}{2}$$（7+2\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{3y}{x}}）$=$\frac{1}{2}（7+2\sqrt{6}）$，当且仅当$\sqrt{2}$x=$\sqrt{3}$y=$\frac{2\sqrt{2}（\sqrt{6}-1）}{5}$时取等号．
∴$\frac{2x+y}{xy}$的最小值为$\frac{1}{2}（7+2\sqrt{6}）$，
故答案为：$\frac{1}{2}（7+2\sqrt{6}）$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．