Question

已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围。

（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立。

Answer 1

（1）a=1    （2）  （3）见解析

解析:

  （1）         ………………2分

  ………………4分

（2）由知由得令，则在上恰有两个不同的实数根等价于在上恰有两个不同的实数根。

，                 ………………6分

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减。

依题意有

                                    ………………8分

（3）的定义域为，由知，令，得或（舍去），当时，，单调递增；当时，，单调递减，为在上的最大值。

，故（当且仅当时，等号成立）。

对任意正整数，取得，故………………12分