Question

11．已知函数f（x）=e^x-ax．
（I ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=ax+2平行．求实数a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）当0＜a＜l时，证明：曲线y=f（x）在直线y=（e-1）x的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，然后对a分类分析得答案；
（Ⅲ）构造函数g（x）=f（x）-（e-1）x=e^x-ax-ex+x，利用导数求其最小值，由最小值恒大于0得答案．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=e^x-ax的导数为f′（x）=e^x-a，
曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=e-a，
由切线与直线y=ax+2平行，
得e-a=a，解得a=$\frac{e}{2}$．
（Ⅱ）解：f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
若a＞0，则当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上递增；
当x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，lna）上递减．
（Ⅲ）证明：令g（x）=f（x）-（e-1）x=e^x-ax-ex+x，
则g′（x）=e^x-a-e+1，
由g′（x）=e^x-a-e+1=0，得x=ln（a+e-1）．
∴当x＞ln（a+e-1）时，f′（x）＞0，f（x）在（ln（a+e-1），+∞）上递增；
当x＜ln（a+e-1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln（a+e-1））上递减．
∴g（x）在（-∞，+∞）上有极小值也就是最小值为g（ln（a+e-1））=e^{ln（a+e-1）}-（a+e-1）ln（a+e-1）
=（a+e-1）（1-ln（a+e-1））．
∵0＜a＜1，∴0＜a+e-1＜e，
则ln（a+e-1）＜1，
∴g（ln（a+e-1））=（a+e-1）（1-ln（a+e-1））＞0．
∴曲线y=f（x）在直线y=（e-1）x的上方．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．