Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，且na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
（1）求a₂，a₃；
（2）证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系分别取n=1，2即可得出．
（2）由na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n，看到$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，即可证明．

解答 （1））解：由数列{a_n}满足a₁=1，且na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
∴a₂-2×1=4，解得a₂=6．
2a₃-3×6=2×2²+2×2，解得a₃=15．
（2）证明：∵na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
解得a_n=2n²-n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．