Question

8．已知函数f（x）=x³-x²+a，
 （1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线与x轴仅有一个交点．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，求得函数的单调区间及极值；
（2）由题意可知：曲线与x轴仅有一个交点，则．a＜0或a-$\frac{4}{27}$＞0时，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=x³-x²+a，求导f′（x）=3x²-2x，
令f′（x）=0，解得：x=0，x=$\frac{2}{3}$，
当x变化时，f（x），f′（x）变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（-0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）的极大值是f（0）=a，极小值是f（$\frac{2}{3}$）=a-$\frac{4}{27}$，
（2）由（1）可知，取足够大的正数时，有f（x）＞0，取足够小的负数时有f（x）＜0，
结合f（x）的单调性可知：
a＜0或a-$\frac{4}{27}$＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，
∴当a∈（-∞，0）∪（$\frac{4}{27}$，+∞）时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，

点评 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性与极值的关系，考查转化思想，属于中档题．