Question

20．已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的标准参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$，可得参数方程．
（2）把直线l代入圆的直角坐标方程x²+y²-4x=0，化简后利用韦达定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|即可求值得解．

解答 解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，可得圆C的圆心为（2，0），半径为2，
直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x²+y²-4x=0，
化简得t²-$\sqrt{3}t$-3=0，
∴t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{3+12}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．