Question

13．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，
①求实数m的取值范围．
②证明：cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．
（2）①由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$），从而可求|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，即可得解．
②由题意可得sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．当1≤m＜$\sqrt{5}$时，可求α-β=π-2（β+φ），当-$\sqrt{5}$＜m＜0时，可求α-β=3π-2（β+φ），由cos（α-β）=2sin²（β+φ）-1，从而得证．

解答 解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到y=2cos（x-$\frac{π}{2}$）的图象，故f（x）=2sinx，
从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．
（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinx+$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosx）
=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$）
依题意，sin（x+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，
当且仅当|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，故m的取值范围是（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
②证明：因为α，β是方程$\sqrt{5}$sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，
所以sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．
当1≤m＜$\sqrt{5}$时，α+β=2（$\frac{π}{2}$-φ），即α-β=π-2（β+φ）；
当-$\sqrt{5}$＜m＜1时，α+β=2（$\frac{3π}{2}$-φ），即α-β=3π-2（β+φ）；
所以cos（α-β）=-cos2（β+φ）=2sin²（β+φ）-1=2（$\frac{m}{\sqrt{5}}$）²-1=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

点评 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想．