Question

13．为了了解高中生的身体健康情况，体育局随机抽取了某校20名学生的体育测试成绩，得到如图所示的茎叶图：
（1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望、方差．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图知“优秀成绩”人数为4人，从这20人中随机选取3人，设选中优秀人数为X，用事件A表示“从这20人中随机选取3人，至多有1人是‘优秀成绩’”，则P（A）=P（X=0）+P（X=1），由此能求出从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率．
（2）由样本估计总体，可知抽到“优秀成绩”学生的概率p=$\frac{1}{5}$，ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出ξ的分布列及数学期望、方差．

解答 解：（1）由茎叶图知“优秀成绩”人数为4人，
从这20人中随机选取3人，设选中优秀人数为X，
用事件A表示“从这20人中随机选取3人，至多有1人是‘优秀成绩’”，
则P（A）=P（X=0）+P（X=1）
=$\frac{{C}_{18}^{3}}{{C}_{20}^{3}}+\frac{{C}_{18}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{52}{57}$．
（2）由样本估计总体，可知抽到“优秀成绩”学生的概率p=$\frac{1}{5}$，
ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），∴Eξ=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．D（ξ）=3×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{12}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．