Question

函数f（x）=e^x-ax-1
（I）若f（x）是R上的增函数，求a的取值范围；
（II）当a=1时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a
若f（x）是R上的增函数，则f′（x）=e^x-a≥0在R上恒成立，
即a≤e^x在R上恒成立，得a≤0．
（Ⅱ）a=1时，f′（x）=e^x-1，
当f′（x）＞0时，x＞0；当f′（x）＜0时，x＜0，
故f（x）的减区间为（-∞，0），增区间为（0，+∞）．
分析：（I）求得函数的导函数f′（x），令导函数f′（x）=e^x-a≥0在x∈R时恒成立即可求出a的范围．
（II）由（I）求得函数的导函数f′（x），再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间．
点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法．