Question

如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1， PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ） ∵ PA = PD = 1 ,PD = 2 , 
∴ PA² + AD² = PD², 即：PA ⊥ AD      
又PA ⊥CD , AD , CD 相交于点D, ∴ PA ⊥平面ABCD 
（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，从而EG ⊥平面ABCD，
且AG = 2GD , EG = PA = ,  
连接BD交AC于O, 过G作GH∥OD ，交AC于H，连接EH．
∵GH ⊥AC , ∴EH ⊥AC ,
∴∠ EHG为二面角D-AC-E的平面角．
∴tan∠EHG = = ．
∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为-
（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ）,
= （1,1,0）, = （0 , ）                                                
设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则 ，
即：， 令y = 1 , 则 = （- 1,1, - 2 ）
假设侧棱PC上存在一点F, 且＝ ， （0 ≤  ≤ 1）,
使得：BF∥平面AEC, 则· ＝ 0．
又因为：＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,
∴· ＝+ 1- - 2 = 0 ,
∴ = ,
所以存在PC的中点F, 使得BF∥平面AEC．