Question

已知集合是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围；
（3）设函数f(x)=lg

a

x2+1

属于集合M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）做出所给的函数的定义域，假设这个函数属于集合，则得到方程x₀²+x₀+1=0，因为此方程无实数解，得到不存在x₀使得等式成立，所以函数f(x)=

1

x

∉M．
（2）做出函数的定义域R，根据f（x）=kx+b∈M，则存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，解得b=0，得到实数k和b的取得范围是k∈R，b=0
（3）根据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，得到一个关于自变量的一元二次方程，根据有解得到判别式大于0，得到结果．

解答：解：（1）根据题意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f(x)=

1

x

∈M，
则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，…（2分）
即x₀²+x₀+1=0，…（3分）
因为此方程无实数解，所以函数f(x)=

1

x

∉M．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在实数x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，实数k和b的取得范围是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由题意，a＞0，D=R．由f(x)=lg

a

x2+1

∈M，存在实数x₀，
使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

2

，…（10分）
所以，

a

(x0+1)2+1

=

a2

2( x 2 0 +1)

，
化简得（a²-2a）x₀²+2a²x₀+2a²-2a=0，…（12分）
当a=2时，x0=-

1

2

，符合题意．…（13分）
当a＞0且a≠2时，由△≥0得4a⁴-8（a²-2a）（a²-a）≥0，
化简得a²-6a+4≤0，
解得a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．…（15分）
综上，实数a的取值范围是[3-

5

，3+

5

]．…（16分）

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是根据所给的满足集合的条件写出关于变量的关系式进行求解，本题是一个难题，难点在于理解题意．