Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且a_n+2=3a_n+1-2a_n，n∈N，对数列{a_n}有下列命题：①数列{a_n}是等差数列；②数列{a_n+1-a_n}是等比数列；③当n≥2时，a_n都是质数；④$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜2，n∈N，则其中正确的命题有（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 通过对a_n+2=3a_n+1-2a_n变形可知数列{a_n+1-a_n}是以首项、公比均为2的等比数列，进而可知a_n-a_n-1=2^n-1、a_n-1-a_n-2=2^n-2、…、a₂-a₁=2¹，叠加可知a_n=2ⁿ-1，进而可知①②③中只有②正确，通过放缩可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），利用等比数列的求和公式可知④正确．

解答 解：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁为首项、2为公比的等比数列，
又∵a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
a_n-a_n-1=2^n-1，
a_n-1-a_n-2=2^n-2，
…
a₂-a₁=2¹，
累加得：a_n-a₁=2¹+2²+…+2^n-1=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
∴a_n=2ⁿ-2+a₁=2ⁿ-1．
显然①②③中，只有②正确，
又∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
＜2，
故④正确；
综上所述，①③错误、②④正确，
故选：D．

点评 本题考查说了的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．