Question

已知两条平行直线l₁：y=m和l₂：y=

3

m+1

（这里m＞0），且直线l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，直线l₂与函数y=|log₈x|的图象从左至右相交于C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，则当m变化时，

b

a

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知中直线l₁：y=m与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，可得：A，B两点的横坐标分别为：2^-m，2^m，由l₂：y=

3

m+1

与函数y=|log₈x|的图象从左至右相交于C、D．可得：C，D两点的横坐标分别为：8-

3

m+1

，8

3

m+1

，进而a=|2^-m-8-

3

m+1

|，b=|2^m-8

3

m+1

|，结合指数的运算性质和基本不等式，可得答案．

解答： 解：∵直线l₁：y=m与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，
∴A，B两点的横坐标分别为：2^-m，2^m，
∵l₂：y=

3

m+1

与函数y=|log₈x|的图象从左至右相交于C、D．
∴C，D两点的横坐标分别为：8-

3

m+1

，8

3

m+1

，
又∵线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，
∴a=|2^-m-8-

3

m+1

|，b=|2^m-8

3

m+1

|
∴

b

a

=|

2m-8 3 m+1

2-m-8- 3 m+1

|=|

2m-2 9 m+1

2-m-2- 9 m+1

|=2m•2

9

m+1

=2m+

9

m+1

=2(m+1)+

9

m+1

-1≥22

(m+1)+ 9 m+1

-1=2⁵=32，
故答案：32．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数的运算性质，基本不等式，综合性强，难度比较大．