Question

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为

4

5

，且过点P(

10 2

3

，1)
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线l：y=kx+m分别切椭圆C与圆M：x²+y²=15于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过P求出待定系数，即得椭圆的方程．
（2）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆、圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式，即可求得结论．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为

4

5

，∴

c

a

=

4

5

，c=

4

5

a，
∴b²=a²-c²=

9

25

a²，
∵椭圆过点P(

10 2

3

，1)，∴

200 9

a2

+

1

9 25 a2

=1，解得a²=25，∴b²=9，
故椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

9

=1（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

，②
直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-15=0，
由于直线与圆相切，得m²=15（1+k²），③，x₂=-

15k

m

，④
由①③得：k²=

3

5

，m²=24，由②④得：x₂-x₁=

10k

m

，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）×

100k2

m2

=4
∴|AB|=2，（12分）

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．