Question

11．设过曲线f（x）=-e^x-x+3a上任意一点处的切线为l₁，总存在过曲线g（x）=（x-1）a+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-2，2]
• C． [-2，1]
• D． [-1，2]

Answer 1

分析 求出函数f（x）=-e^x-x+3a的导函数，进一步求得$\frac{1}{1+{e}^{x}}$∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=-e^x-x+3a上任意一点的切线为l₁，总存在过曲线g（x）=a（x-1）+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂转化为集合间的关系求解．

解答 解：由f（x）=-e^x-x，得f′（x）=-e^x-1，
∵e^x+1＞1，∴$\frac{1}{1+{e}^{x}}$∈（0，1），
由g（x）=（x-1）a+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，
∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=-e^x-x+3a上任意一点的切线为l₁，
总存在过曲线g（x）=a（x-1）+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥1}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤2．
即a的取值范围为[-1，2]．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．