【题目】已知半径为5的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
求:(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆相交于
两点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
?
若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设圆心为(
),利用直线与圆相切的位置关系,根据点到直线的距离公式列方程解得
的值,从而确定圆的方程;
(2)直线与圆交于不同的两点,利用圆心到直线的距离小于圆的半径列不等式从而解出实数
的取值范围;
(3)根据圆的几何性质,垂直平分弦的直线必过圆心,从而由两点确定直线
的斜率,进一步由两直线垂直的条件确定实数
的值.
试题解析:(1)设圆心为(
).
由于圆与直线相切,且半径为
,所以,
,
即.因为
为整数,故
.
故所求的圆的方程是.
(2)直线即
.代入圆的方程,消去
整理,得
.由于直线
交圆于
两点,
故,即
,解得
,或
.
所以实数的取值范围是
.
(3)设符合条件的实数存在,由(2)得
,则直线
的斜率为
,
的方程为
,即
.
由于垂直平分弦
,故圆心
必在
上.
所以,解得
.由于
,
所以存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
.
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【题目】设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)= ,其中集合D={x|x=
,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,两个顶点分别为
,
.过点
的直线交椭圆于
,
两点,直线
与
的交点为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:点在一条定直线上.
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【题目】已知直线.
(1)若直线不经过第四象限,求的取值范围;
(2)若直线交
轴负半轴于
,交
轴正半轴于
,求
的面积的最小值并求此时直线
的方程;
(3)已知点,若点
到直线
的距离为
,求
的最大值并求此时直线
的方程.
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【题目】已知中,
是角
的对边,则其中真命题的序号是__________.
①若,则
在
上是增函数;
②若,则
是直角三角形;
③ 的最小值为
;
④若,则
;
⑤若,则
.
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【题目】已知为椭圆
(
)的一个焦点,过原点的直线
与椭圆交于
、
两点,且
,△
的面积为
。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若,过点
且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求点
横坐标的取值范围。
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).(10分)
(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax.
(1)若函数f(x)在x=3处取得极值,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若a> ,函数y=f(x)在[0,2a]上的最小值是﹣a2 , 求a的值.
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