[题目]在平面直角坐标系中.已知椭圆的离心率为.两个顶点分别为.．过点的直线交椭圆于.两点.直线与的交点为．(1)求椭圆的标准方程, (2)求证:点在一条定直线上．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：点在一条定直线上．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b；

（2）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x﹣2）．联立方程组，得点M的坐标为（，），同理，点N（，）．由M，D，N三点共线，得k2=3k1，由此能证明点G恒在定直线x=4上．

(1)由椭圆两个顶点分别为，题设可知

因为，即，所以．

又因为，所以．

所以，所求的椭圆的标准方程为.

(2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．

联立方程组，消去y得，

解得点．同理，解得点.

由M，D，N三点共线，有，化简得．

由题设可知与同号，所以．

联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标，

得．所以，点G恒在定直线上．

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D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2