Question

【题目】设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），
设P（x，y），由点P满足 = ．
可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0），
可得x﹣x0=0，y= y0 ，
即有x0=x，y0= ，
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
=1，可得（ cosα， sinα）（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由kOQ=﹣ ，
kPF= ，
由kOQkPF=﹣1，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【解析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
span>（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．