Question

【题目】（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为，面积为的扇形，求该圆锥的表面积和体积.

（2）已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为，求该三棱柱的体积.

Answer 1

【答案】（1）； （2） .

【解析】

（1）设圆锥的底面半径、母线长分别为，利用扇形的面积公式求得，利用圆锥的表面积和体积公式，即可求解；

（2）设球半径为，上，下底面中心设为，由题意，外接球心为的中点，根据三棱柱的外接球的表面积，列出方程，求得棱柱的高，利用体积公式，即可求解.

（1）设圆锥的底面半径、母线长分别为，

则，解得

所以圆锥的高为，得表面积是，体积是

（2）设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，

设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AM＝，

由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，

所以该三棱柱的体积为.