【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)证明:b2>3a;
(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,
令g′(x)=0,解得x=﹣ .
由于当x>﹣ 时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣ 时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;
所以f′(x)的极小值点为x=﹣ ,
由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,
所以f(﹣ )=0,即﹣ + ﹣ +1=0,
所以b= + (a>0).
因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,
所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,
所以4a2﹣12b>0,即a2﹣ + >0,解得a>3,
所以b= + (a>3).
(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a= ﹣ + = (4a3﹣27)(a3﹣27),
由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;
(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣ )=b﹣ ,
设x1 , x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2= ,x1x2= ,
所以f(x1)+f(x2)= + +a( + )+b(x1+x2)+2
=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2
= ﹣ +2,
又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ,
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ,
因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,
所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,
所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,
由于a>3时2a2+12a+9>0,
所以a﹣6≤0,解得a≤6,
所以a的取值范围是(3,6].
【解析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣ ,从而f(﹣ )=0,整理可知b= + (a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.
(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a= ﹣ + = (4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;
(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣ )=b﹣ ,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为 ﹣ +2,进而问题转化为解不等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ,因式分解即得结论.
【考点精析】认真审题,首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导),还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
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【题目】三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1 , Q2 , Q3中最大的是 .
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1 , p2 , p3中最大的是 .
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【题目】设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)= ,其中集合D={x|x= ,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是 .
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【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(Ⅰ)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(Ⅱ)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
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【题目】如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.
(Ⅰ)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,两个顶点分别为,.过点的直线交椭圆于,两点,直线与的交点为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:点在一条定直线上.
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