【题目】如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
【答案】见解析
【解析】【证明】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC=BC=BB1=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),
C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,
故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1).
又=(0,-2,-2),
所以=-.
又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.
又DE平面CA1D,BC1平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆的一个太极函数;
③存在圆,使得是圆的一个太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数;
⑤若函数是圆的太极函数,则
所有正确的是__________.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长.
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【题目】已知函数f(x)= cos(2x﹣ )﹣2sinxcosx.(13分)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求证:当x∈[﹣ , ]时,f(x)≥﹣ .
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【题目】已知直线l、m,平面α、β,下列命题正确的是 ( )
A. l∥β,lαα∥β
B. l∥β,m∥β,lα,mαα∥β
C. l∥m,lα,mβα∥β
D. l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=Mα∥β
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【题目】如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣ , ),B( , ),抛物线上的点P(x,y)(﹣ <x< ),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)证明:b2>3a;
(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ,求a的取值范围.
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