【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(Ⅰ)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(Ⅱ)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
【答案】解:(Ⅰ)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,
在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,
∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,
又∵AC平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,
∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2 , 解得MC=30cm,
∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,
∴ =
,
,得AN=16cm.
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.
(Ⅱ)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,
在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,
过点E作EQ⊥E1G1 , 交E1G1于点Q,
∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1 , EG∥E1G1 ,
EG≠E1G1 ,
∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,
∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,
∴E1Q=24cm,
由勾股定理得:E1E=40cm,
∴sin∠EE1G1= ,sin∠EGM=sin∠EE1G1=
,cos
,
根据正弦定理得: =
,∴sin
,cos
,
∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ,
∴EN= =
=20cm.
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.
【解析】(Ⅰ)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.
(Ⅱ)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1 , 交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM= ,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和直线与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握正弦定理:;一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= cos(2x﹣
)﹣2sinxcosx.(13分)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求证:当x∈[﹣ ,
]时,f(x)≥﹣
.
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【题目】已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=
.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值
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【题目】已知向量 =(cosx,sinx),
=(3,﹣
),x∈[0,π].
(Ⅰ)若 ∥
,求x的值;
(Ⅱ)记f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)证明:b2>3a;
(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ,求a的取值范围.
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【题目】如图,空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD互相垂直,AC,BD的长分别为8和2,则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,面积的最大值是_______________.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(Ⅰ)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM||OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点A的极坐标为(2, ),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
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【题目】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
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