Question

17．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB的面积S（O为原点）．
（1）用θ、p表示S；
（2）求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 （1）设过焦点F（$\frac{p}{2}$，0）倾斜角为θ的直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，化简整理即可得到S的解析式；
（2）由正弦函数的值域，可得sinθ=1时取得最小值，求得最小值；再令最小值为4，解得p，进而得到抛物线的方程．

解答 解：（1）设过焦点F（$\frac{p}{2}$，0）倾斜角为θ的直线的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线的方程可得，
t²sin²θ-2ptcosθ-p²=0，t₁+t₂=$\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}$，
即有S=$\frac{1}{2}$•$\frac{P}{2}$•|t₁-t₂|sinθ=$\frac{1}{4}$psinθ•$\sqrt{（\frac{2pcosθ}{si{n}^{2}θ}）^{2}+\frac{4{p}^{2}}{si{n}^{2}θ}}$
=$\frac{1}{4}$psinθ•$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{{p}^{2}}{2sinθ}$；
（2）当sinθ=1，即θ=$\frac{π}{2}$时，S取得最小值$\frac{1}{2}$p²；
当最小值为4时，即为$\frac{1}{2}$p²=4，解得p=2$\sqrt{2}$，
即有抛物线的方程为y²=4$\sqrt{2}$x．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程，考查三角函数的性质和运用，以及化简整理的能力，属于中档题．