Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[ ， ]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，

∴f（x）在[1，a]上单调递减，

∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．

（2）解：不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[ ， ]恒成立，

即x|2ax﹣5|≤1对x∈[ ， ]恒成立，

故a≥ 且a≤ 在x∈[ ， ]恒成立，

令g（x）= ，x∈[ ， ]，则g′（x）=﹣ ，

令g′（x）＞0，解得： ≤x＜ ，令g′（x）＜0，解得： ＜x≤ ，

故g（x）在[ ， ）递增，在（ ， ]递减，

故g（x）max=g（ ）= ，

令h（x）= ，x∈[ ， ]，h′（x）= ＜0，

故h（x）在x∈[ ， ]递减，

h（x）min=h（ ）=7，

综上： ≤a≤7．

【解析】（1）判断出f（x）的单调性，利用单调性列方程解出；（2）问题转化为a≥ 且a≤ 在x∈[ ， ]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．