Question

△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，
①求最大角的余弦值；  
②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

Answer 1

分析：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），根据两边之和大于第三边和C为钝角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三边长分别为2，3，4．最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值；  
（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函数的关系算出sinC=

15

4

，设平行四边形两边分别为m、n，可得它的面积为S=mnsinC=

15

4

mn，再根据m+n=4用基本不等式求最值，即可得到当且仅当m=n=2时平行四边形面积最大值为

15

．

解答：解：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），
∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4+9-16

2×2×3

=-

1

4

∴最大角的余弦值为-

1

4

（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC=

1-cos2C

=

15

4

，
设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，
∵m+n=4，∴mn≤(

m+n

2

)2=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4
因此，平行四边形的面积S=mnsinC=

15

4

mn≤

15

4

×4=

15

∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为

15

．

点评：本题给出三边长为连续整数的三角形，且最大角为钝角时求最大角的余弦之值，并依此求一个平行四边形的面积最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识，属于中档题．