Question

定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：
（1）f（x）=（x-1）²，T₁将函数f（x）的图象关于y轴对称；
（2）f（x）=2^x-1-1，T₂将函数f（x）的图象关于x轴对称；
（3）f（x）=

x

x+1

，T₃将函数f（x）的图象关于点（-1，1）对称；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），T₄将函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称．
其中T是f（x）的同值变换的有

（1）（3）（4）

．（写出所有符合题意的序号）

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）的图象关于y轴对称的变换不改变函数的值域；
（2）求出函数f（x）=2^x-1-1关于x轴对称的函数解析式，分别求出值域，即可得到结论；
（3）求出函数f（x）=

x

x+1

关于点（-1，1）对称的函数解析式，它们是同一个函数；
（4）求出函数f（x）=sin（x+

π

3

）关于点（-1，0）对称的函数解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），求出它们的值域，即可得到结论．

解答：解：（1）将函数f（x）的图象关于y轴对称的变换不改变函数的值域，故T₁属于f（x）的同值变换；
（2）f（x）=2^x-1-1，其值域为（-1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=-2^x-1+1，值域为（1，+∞），T₂不属于f（x）的同值变换；
（3）f（x）=

x

x+1

，将函数f（x）的图象关于点（-1，1）对称，得到的函数解析式是2-y=

x+2

x+1

，即y=

x

x+1

，它们是同一个函数，故T₃属于f（x）的同值变换；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），将函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称，得到的函数解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），它们的值域都为[-1，1]，故T₄属于f（x）的同值变换；
∴T是f（x）的同值变换的有（1）（3）（4）
故答案为：（1）（3）（4）

点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．