Question

已知数列{a_n}中,a₂=a+2(a为常数),S_n是{a_n}的前n项和,且S_n是na_n与ne的等差中项,

       (1)求a₁、a₃;

       (2)猜想a_n的表达式,并用数学归纳法加以证明.

      

Answer 1

解析:(1)∵S_n是na_n与na的等差中项,?

       ∴2S_n=na_n+na.①?

       ∴2a₁=a₁+a.∴a₁=a.?

       又n≥2时,2S_n-1=(n-1)a_n-1+(n-1)a,②?

       ①-②得2a_n=na_n-(n-1)a_n-1+a,?

       ∴a_n=(n≥2).?

       又a₂=a+2,∴a₃==2a+4-a=a+4.??

       (2)猜想a_n=a+2(n-1).?

       证明:(ⅰ)n=1时,显然成立.?

       (ⅱ)假设n=k(k∈N^*)时成立,即a_k=a+2(k-1),?

       那么n=k+1时,a_k+1===a+2k=a+2［(k+1)-1］,?

       故n=k+1时也成立,由(ⅰ)(ⅱ)知,对n∈N^*均有a_n=a+2(n-1).