Question

若函数y＝lg(3－4x＋x²)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2^x＋2－3×4^x的最值及相应的x的值.

Answer 1

∵y＝lg(3－4x＋x²)，

∴3－4x＋x²＞0，

解得x＜1或x＞3，

∴M＝{x|x＜1或x＞3}，

f(x)＝2^x＋2－3×4^x＝4×2^x－3×(2^x)².

令2^x＝t，∵x＜1或x＞3，

∴t＞8或0＜t＜2.设g(t)＝4t－3t²，

∴g(t)＝4t－3t²＝－3(t－)²＋(t＞8或0＜t＜2).

由二次函数性质可知：

当0＜t＜2时，g(t)∈(－4，]，

当t＞8时，g(t)∈(－∞，－160)，

∴当2^x＝t＝，即x＝log₂时，f(x)_max＝.

综上可知：当x＝log₂时，f(x)取到最大值为，无最小值.