Question

5．已知关于x的不等式（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 讨论a²-4=0，即a=±2时，对应不等式的解集是什么；再讨论a≠±2时，应满足的条件是什么，求出对应a的取值范围即可．

解答 解：∵a²-4=0时，a=±2，
∴当a=2时，不等式化为4x-1≥0，其解集为{x|x≥$\frac{1}{4}$}，不满足题意；
当a=-2时，不等式化为-1≥0，显然不成立，其解集为∅，满足题意；
当a≠±2时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜2}\\{{（a+2）}^{2}+4{（a}^{2}-4）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{-2＜a＜\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
即-2＜a＜$\frac{6}{5}$；
综上，实数a的取值范围是{a|-2≤a＜$\frac{6}{5}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．