Question

20．已知f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$（0＜a＜1）
（1）证明：f（x）定义域上的减函数；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先化简f（x），求出定义域为R，再用定义证明f（x）是定义域R上的减函数；
（2）根据f（x）在定义域R上是减函数，求出-1＜f（x）＜1，即得f（x）的值域．

解答 解：（1）证明：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$（0＜a＜1），
且a^2x+1≠0，∴x∈R；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{a}^{{2x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{a}^{{2x}_{1}}+1}$
=$\frac{2{（a}^{{2x}_{1}}{-a}^{{2x}_{2}}）}{{（a}^{{2x}_{1}}+1）{（a}^{{2x}_{2}}+1）}$；
∵0＜a＜1，且x₁＜x₂，
∴${a}^{{2x}_{1}}$＞${a}^{{2x}_{2}}$，∴2（${a}^{{2x}_{1}}$-${a}^{{2x}_{2}}$）＞0，且（${a}^{{2x}_{1}}$+1）（${a}^{{2x}_{2}}$+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是定义域R上的减函数；
（2）∵f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$是定义域R上的减函数，且0＜a＜1；
∴当x→-∞时，a^2x→+∞，$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→0，∴f（x）＜1；
当x→+∞时，a^2x→0，$\frac{2}{{a}^{2x}+1}$→2，∴f（x）＞-1；
∴f（x）的值域是（-1，1）．

点评 本题考查了利用定义判断函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求值域的问题，是基础题目．