Question

已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在， 使得不等式成立. 若，是数列的前项和.

（I）求数列的通项公式；

（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；

（Ⅲ）设（且），使不等式

 恒成立，求正整数的最大值．

Answer 1

解：（I）∵在定义域内有且只有一个零点

            ……1分

当=0时，函数在上递增     故不存在，

使得不等式成立        …… 2分

综上，得    …….3分

    …………4分                

（II）解法一：由题设

时，

时，数列递增           

由                可知

即时，有且只有1个变号数；     又

即             ∴此处变号数有2个

综上得数列共有3个变号数，即变号数为3           ……9分

解法二：由题设            

当时，令

又时也有   

综上得数列共有3个变号数，即变号数为3                   …………9分

（Ⅲ）且 时，

可转化为    ．

设，

则当且，

.

所以，即当增大时，也增大．

要使不等式对于任意的恒成立，只需

即可．因为，

所以.       即

所以，正整数的最大值为5．                              ……………13分