Question

（2012•包头一模）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若

EC

EB

=

1

3

，

ED

EA

=

1

2

，求

DC

AB

的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

Answer 1

分析：（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

 ，利用比例的性质可得

1

2

•

1

3

=(

DC

AB

)2，得到

DC

AB

=

6

6

；
（II）根据题意中的比例中项，可得

EF

FA

=

FB

FE

，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．

解答：解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

 ，
∴

ED

EB

•

EC

EA

=(

DC

AB

)2，即

1

2

• 

1

3

=(

DC

AB

)2
∴

DC

AB

=

6

6

（Ⅱ）∵EF²=FA•FB，
∴

EF

FA

=

FB

FE

，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

点评：本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．