Question

已知函数．
（1）求证：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]．

Answer 1

证明：（1）∵f（x）==-1，
∴f（2a-x）=-1=--1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=+（-）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）∵f（x）的定义域为，
∴-1-a≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
又f（x）=-1，
∴-3≤-1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．
分析：（1）由于f（x）=-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，与x取值无关得证；
（2）由定义域为[a+12，a+1]，得，再由f（x）=-1即可求解．
点评：本题考查函数的值域，关键在于对f（x）的化简（化为f（x）=-1），难点在于由x的范围到-x的范围，再到a-x的范围，最后到的范围的探讨，属于难题．