Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=

4

3

AD=8．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P-AD-M的大小为

π

3

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,空间角

分析：（1）通过证明BD⊥平面PAD，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面MBD⊥平面PAD．
（2）以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系，求出点O，A，D，B，P，C的坐标，设

PM

PC

=λ（0＜λ＜1），平面PAD的法向量可取：

n1

=(0，8，0)，求出平面MAD的法向量为

n2

=(x，y，z)，利用空间向量的数量积，结合二面角P-AD-M的大小为

π

3

．求出λ=

9

13

．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）证明：因为BD=

4

3

AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=6，
所以有AD²+BD²=AB²，
即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，
BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．
（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO垂直于AD，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，
所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系
所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（-3，0，0），B（-3，8，0），P（0，0，3

3

），
由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（-6，4，0），
设

PM

PC

=λ（0＜λ＜1），则有M(-6λ，4λ，3

3

(1-λ))，因为由（1）的证明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：

n1

=(0，8，0)，设平面MAD的法向量为

n2

=(x，y，z)，则有

n2 • AD =0 n2 • DM =0

⇒

(x，y，z)(-6，0，0)=0 (x，y，z)(-6λ+3，4λ，3 3 (1-λ))=0

⇒x=0，令y=3

3

，则有z=

4λ

λ-1

，即有

n2

=(0，3

3

，

4λ

λ-1

)
由由二面角P-AD-M的大小为

π

3

．

1

2

=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

24 3

8× 27+( 4λ λ-1 )2

，解得λ=

9

13

故当M满足：PM=

9

13

PC时符合条件．

点评：本题考查二面角的求法与应用，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．