Question

（2013•哈尔滨一模）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F₁F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  5

  ）
• B．(

  1

  5

  ，

  1

  3

  )
• C．(

  1

  3

  ，+∞)
• D．(

  1

  5

  ，+∞)

Answer 1

分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e₁•e₂的取值范围是．

解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．
由题意知r₁=10，r₂=2c，且r₁＞r₂，2r₂＞r₁，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
⇒

5

2

＜c＜5．⇒1＜

25

c2

＜4，
∴e2=

2c

2a双

=

2c

r1-r2

=

2c

10-2c

=

c

5-c

；
e1=

2c

2a椭

=

2c

r1+r2

=

2c

10+2c

=

c

5+c

．
∴e1•e2=

c2

25-c2

=

1

25 c2 -1

＞

1

3

，
故选C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．