Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且．

(1)求椭圆C的方程．

(2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线与椭圆C交于D，E两点，试判断的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）的周长为定值为，详见解析

【解析】

（1）根据已知条件求出A、B两点的坐标，再由和离心率为建立关于a,b,c的方程，从而得椭圆的方程；

（2）根据直线被圆所截得的弦长等于椭圆的长轴长得出k,m的关系，再将直线与椭圆的方程联立消去y，得到交点的横坐标的韦达定理表达式，分别求出，得出的周长为定值，得解.

（1）因为，所以，则即，所以椭圆C的方程可化为，

由得不妨令

易知则

因为，所以,即，

又，所以

所以椭圆C的方程为

（2）由（1）知椭圆C的长轴长为，因为直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，所以圆的圆心O（O为坐标原点）到直线l的距离，所以，即

设，联立方程，得整理得

所以，又，

所以

又

所以，

所以的周长是.

所以的周长为定值，为.

得解.