Question

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出144件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出8件．

（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

 

Answer 1

（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值．从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．

试题解析：【解析】
（1）设商品降价元，则每个星期多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有， 3分

又由已知条件，，于是有， 5分

所以 6分

（2）由（1）得 7分

当变化时，与的变化如下表：

		2		12
	↘	极小	↗	极大	↘

10分

故时，达到极大值．因为，，

所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大． 13分

考点：函数模型的选择与应用．