Question

已知函数f（x）=+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+的值域．

Answer 1

解：（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=-；

（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
=
∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=，（0＜a＜1）是单调递增函数

（3）y=g（t）=t+
当≤a＜1时，y=g（t）在单调递减，
值域：
当时，y=g（t）=t+，
当且仅当t=时，y_min=2，
值域：．
分析：（1）因为函数f（x）=+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数，利用函数的定义域为R时，奇函数在0处有定义则f（0）=0即可解的b的值；
（2）由题意利用函数的单调性的定义加以判断；
（3）由题意先求出函数y=f（x）+的解析式，利用“对勾”函数的单调性求出定义域下的函数值域．
点评：此题考查了奇函数的性质，函数的单调性的定义，还考查了“对勾”函数的单调性及已知函数的定义域求解函数的值域．