Question

如图，V是边长为a的等边△ABC所在平面外一点，且VA=VB=VC=a，E、F分别为VA、BC的中点，?

(1)求证：EF是VA与BC的公垂线；

(2)求VA与BC的距离；

(3)求VC与BE所成角的大小；

(4)VF与BE所成角的大小.

Answer 1

解析：(1)连结VF、AF.?

∵△ABC≌△VBC,∴AF=VF.?

又E 为VA的中点，?

∴EF⊥VA.?

同理可得EF⊥BC.?

∴EF是VA与BC的公垂线.?

(2)∵EF是VA与BC的公垂线，?

∴EF的长即为VA与BC的距离.?

由所有的棱长均为a，求得AF=VF=.?

进而可得EF =.  ∴VA与BC的距离为.?

 (3)∵E为VA的中点，?

∴取AC的中点G，连结EG、BG.则EG∥VC.?

∴∠BEG或其补角即为VC与BE所成的角.?

在△BEG中，BE=BG=,EG=.?

由余弦定理可得  cos∠BEG=.?

∴VC与BE所成的角为arccos.?

 (4)∵E为VA的中点，?

∴取AF的中点M，连结EM、BM，则EM∥VF.?

∴∠BEM或其补角即为VF与BE所成的角.?

在△BEM中，BE=,EM=.?

而BM=MF²+BF²=.?

由余弦定理得cos∠BEM =.?

∴VF与BE所成的角为arccos.