Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AC⊥BC．侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F分别是AB₁，BC的中点．  
（1）求证：直线EF∥平面A₁ACC₁；   
（2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明；  
（3）记三棱锥A-BCE的体积为V，且V∈[

3

2

，12]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C，A₁E，结合菱形的性质及F是BC的中点，由三角形的中位线定理，可证得EF∥A₁C，由线面平行的判定定理即可得到直线EF∥平面A₁ACC₁；   
（2）取G为线段AB上靠近B点的四等分点，连接EG，FG，由菱形的性质及E是A₁B的中点，可得EG⊥AB，又由平面A₁ABB₁⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可得EG⊥平面ABC，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFG⊥平面ABC；
（3）由△A₁AB是边长为a的等边三角形，则我们可以求出EG的长，结合（2）中EG⊥平面ABC，利用等体积法，我们易将棱锥A-BCE的体积为V表示为a表达式，结合V∈[

3

2

，12]，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：（1）证明：连接A₁C，A₁E．因为  侧面A₁ABB₁是菱形，E是AB₁的中点，所以  E也是A₁B的中点，
又因为  F是BC的中点，所以  EF∥A₁C．
因为  A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，所以  直线EF∥平面A₁ACC₁．                 …（4分）
（2）解：当

BG

GA

=

1

3

时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：…（5分）
连接EG，FG．因为  侧面A₁ABB₁是菱形，且∠A₁AB=60°，所以△A₁AB是等边三角形．
因为  E是A₁B的中点，

BG

GA

=

1

3

，所以  EG⊥AB．
因为  平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，所以  EG⊥平面ABC．
又因为  EG?平面EFG，所以  平面EFG⊥平面ABC．                                   …（8分）
（3）解：因为△A₁AB是边长为a的等边三角形，所以  EG=

3

4

a，
所以  V=VA-BCE=VE-ABC=

1

3

•

1

2

AC•BC•EG=

3

48

a3．
根据  

3

2

≤

3

48

a3≤12，解得2

3

≤a≤4

3

，即 a∈[2

3

，4

3

]．                  …（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得EF∥A₁C，（2）的关键是证得EG⊥平面ABC，（3）的关键是将棱锥A-BCE的体积为V表示为a表达式，结合V∈[

3

2

，12]，构造关于a的不等式．