Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n为正整数，且a3+

1

32

是a2，a4的等差中项，
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若Cn=-

log an 1 2

an

•Tn=C1+C2+…+Cn求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（1）把2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0进行分解，可得an+1=

1

2

an，进而得到数列{a_n}是等比数列，并且公比为

1

2

，结合a3+

1

32

是a2，a4的等差中项可得答案．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，利用错位相减法可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2，所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要2ⁿ⁺¹＞127即可，所以n≥6．

解答：解：（1）根据题意可得：2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，
所以（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，
因为数列{a_n}各项均为正数，
所以an+1= 

1

2

an，
所以数列{a_n}是等比数列，并且公比为

1

2

．
因为a3+

1

32

是a2，a4的等差中项，
所以a2+a4=2a3+

1

16

，即a1q+a1q3=2a1q2+

1

16

，
解得：a1=

1

2

．
所以数列{a_n}通项公式为an=(

1

2

)n．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，
所以T_n=-2-2×2²-3×2³-…-n×2ⁿ…①，
所以2T_n=-2²-2×2³-3×2⁴…-（n-1）2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹…②
所以①-②并且整理可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2．
所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹-2＞125成立，即2ⁿ⁺¹＞127，
所以n≥6，
所以使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值为6．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握求数列通项的方法并且充分分析已知条件，熟练掌握求数列的前n项和的方法即可解决问题．