Question

【题目】已知动直线与焦点坐标为，离心率为的曲线相交于两点（为曲线的坐标原点），且.

（1）求曲线的标准方程；

（2）证明：和都为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）由题意布列关于基本量的方程组，即可得到曲线的标准方程；（2）对直线的斜率分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得

，结合韦达定理即可得到结果.

解：（1）∵曲线的离心率为，∴该曲线为椭圆，

∵曲线的焦点坐标为，，

∴，，∴

∴曲线的标准方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，当关于轴对称，

设，得，，在椭圆上，得，

又∵，得

联立与，可得

∴，同理可得：

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得

，

∵，且直线与曲线有两个交点，

∴由根与系数关系的，，

∴

因为到直线的距离，，

∴

令，即有，可推出，得

即，此时

,

综上所述，，