Question

【题目】有如下命题：①函数与的图象恰有三个交点；②函数与的图象恰有一个交点；③函数与的图象恰有两个交点；④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题为_____

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①构造函数，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；

②利用与x的关系进行转化判断；

③设函数,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假.

④设函数,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假.

①设，则，即函数为减函数，

∵，

∴函数只有一个零点，即函数与的图象恰有一个交点，故①错误，

②由①知当时，，

当时，，

当时，，

当时，，综上当时，恒成立，

函数与的图象恰有一个交点，故②正确，

③设函数，则，

又，所以在上单调递减.

又，

所以存在，使得

即当时，，函数单调递增.

当时，，函数单调递减.

由函数在上单调递增且，

所以函数在上有且只有一个零点.

由，函数在上单调递增，则

又，且函数在上单调递减.

所以在上有且只有一个零点.

即在上有且只有一个零点.

所以有2个零点，即函数与的图象恰有两个交点，故③正确.

④设函数,为奇函数，且.

所以只需研究在上的零点个数即可.

则,则，

所以，所以在上单调递减.

所以当时，，则在上单调递减.

又，.

所以存在，使得.

即当时，，函数单调递增.

当时，，函数单调递减.

，由函数在上单调递增，则

又，且函数在上单调递减.

所以在上有且只有一个零点.

即在上有且只有一个零点.

由为奇函数，所以在上有且只有一个零点，且.

所以有3个零点，即函数与的图象恰有三个交点，故④正确.

故答案为：②③④.