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    【题目】已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.

    （1）求抛物线的标准方程；

    （2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    （1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；

    （2）设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，再由得，即可得到结论．

    （1）设，两点的坐标分别为，，

    则，，两式相减得.

    即，

    又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.

    即抛物线的标准方程为.

    （2）设直线：与抛物线：交于点，，

    则，

    ，∴，

    ∴，，

    由得，即，，

    直线为，∴过定点.

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    A.B.C.D.

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    在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．

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    【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

    y（微克）

    x（千克）

    3

    38

    11

    10

    374

    －121

    －751

    其中

    （I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

    (Ⅱ)若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求出与的回归方程．(c，d精确到0.1)

    (Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据)

    附：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

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    【题目】在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.

    （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

    （2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

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    【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．

    （1）若直线l：x+y＝0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；

    （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

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    【题目】如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.

    (1)证明:平面PAC.

    (2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.

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    【题目】已知函数 (为实常数)

    （1）求函数的单调区间；

    （2）若，求不等式的解集；

    （3）若存在两个不相等的正数、满足，求证：.

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