Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 若a1=1，且Sn=tan﹣ ，其中n∈N*．
（1）求实数t的值和数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=log3a2n ， 求数列{ }的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，

解得：t= ，

∴Sn= an﹣ ，

当n≥2时，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，

∴an=Sn﹣Sn﹣1=（ an﹣ ）﹣（ an﹣1﹣ ），即an=3an﹣1，

∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，

∴an=a1qn﹣1=3n﹣1，

当n=1时，an=3n﹣1，成立，

∴数列{an}的通项公式an=3n﹣1

（2）解：由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1，

= = （ ﹣ ），

数列{ }的前n项和Tn，Tn= （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ），

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

= （1﹣ ），

= ，

数列{ }的前n项和Tn=

【解析】（1）由当n=1时，a1=S1=ta1﹣ ，由a1=1，即1=t﹣ ，即可求得t的值，Sn= an﹣ ，当n≥2时，Sn﹣1= an﹣1﹣ ，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 整理得：an=3an﹣1 ， 数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知：bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1， = = （ ﹣ ），利用“裂项法”即可求得数列{ }的前n项和Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．