Question

已知向量

a

=(4cos

π

3

，1)，

b

=(sin(x+

π

6

)，-1)，f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+

π

6

）-1，由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．
（2）由（1）知f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上递增，由此求得f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=(2，1)•(sin(x+

π

6

)，-1)=2sin(x+

π

6

)-1．…2′
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，（k∈z）．
∴f（x）的单调增区间是[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈z）．…6′
（2）由（1）知f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上递增，∴当x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-1；
当x=

π

6

时，f（x）取得最大值2sin

π

3

-1=

3

-1．…12′

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域以及单调性，属于中档题．