Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．

Answer 1

分析：二次函数求最值，要注意讨论对称轴与区间的位置关系，求出最值后等于2，即可求a的值

解答：解：原函数的对称轴为x=a，开口向下
①当a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递减
∴f（x）的最大值为f（0）=1-a=2
∴a=-1＜0
∴a=-1符合题意
②当0≤a≤1时
f（x）的最大值为f（a）=-a²+2a²+1-a=a²-a+1=2
∴a=

1- 5

2

或a=

1+ 5

2

∉[0，1]
∴不合题意，无解
③当a＞1时，f（x）在[0，1]上单调递增
∴f（x）的最大值为f（1）=-1+2a+1-a=a=2＞1
∴a=2符合题意
综①②③得a=-1或a=2

点评：本题考察二次函数求最值问题，注意对称轴与区间的位置关系，当对称轴于区间的位置关系不确定时，须分类讨论，从而得到原函数的单调性，进而可以求最值