设函数
.
⑴求函数
的单调区间；
⑵求函数的值域；
⑶已知
对
恒成立，求实数
的取值范围.
（1）详见解析；（2）
；（3）
.
解析试题分析：（1）判断函数的单调区间，一般利用其导数的符号判断，使导函数为正的区间是增区间，使函数为负的区间是减区间；（2）函数的值域则可利用（1）中得到的函数的单调性进行求解；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，而求函数的最值则仍可利用导数去判断函数的单调性.
试题解析：⑴
，由
解得
，
由
解得，
或
，
故函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
4分
⑵当
时，解得
，由⑴可知函数在上递增，在
上递减，
在区间
上，
；
在区间
上，
函数的值域为. 8分
⑶
，两边取自然对数得
，
对
恒成立，则
，
由⑵可知当时，
，
. 12分
考点：函数与导数、函数的单调性、不等式恒成立.
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设
，函数
.
（1）若
，求函数
的极值与单调区间；
（2）若函数的图象在
处的切线与直线
平行，求
的值；
（3）若函数的图象与直线
有三个公共点，求的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某校内有一块以
为圆心，
（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形
区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，
区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.
（1）设
（单位：弧度），用
表示弓形的面积
；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计
的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.
（参考公式：扇形面积公式
，
表示扇形的弧长）
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，
，函数
的图象与
轴的交点也在函数
的图象上，且在此点有公切线．
，
的值；
与
的大小．
上是增函数，求实数
的取值范围.
的一个极值点，求
上的最大值.
，
．
且
，试讨论
的单调性；
，总
使得
成立，求实数
的取值范围．
的单调区间、最大值；
的方程
的根的个数．
的值域；
，函数
．若对任意
，总存在
，使
，求实数
的取值范围．
.
时，讨论函数
在[
上的单调性；
，
是函数
的两个零点，
为函数
.