Question

8．设数列{a_n}首项a₁=2，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），则满足$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$的所有n的和为9．

Answer 1

分析 由题意可知2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），2a_n+2+S_n+1=3，2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，求得2a_n+2=a_n+1，数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项a₁=2的等比数列，则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=4-4（$\frac{1}{2}$）ⁿ，$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4-4•（\frac{1}{2}）^{2n}}{4-4•（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，则$\frac{34}{33}$＜1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{16}{15}$，即可求得n的所有值，求得满足$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$的所有n的和．

解答 解：由2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），
∴2a_n+2+S_n+1=3，
两式相减得2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，
即2a_n+2+a_n+1-2a_n+1=0，
则2a_n+2=a_n+1，
当n=1时，2a₂+a₁=3，
则a₂=$\frac{1}{2}$，满足2a₂=a₁，
即2a_n+1=a_n，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，即数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项a₁=2的等比数列，
则数列{a_n}前n项和为S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=4-4（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4-4•（\frac{1}{2}）^{2n}}{4-4•（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∵$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$，即$\frac{34}{33}$＜1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{16}{15}$，
$\frac{1}{33}$＜（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{1}{15}$，
则15＜2ⁿ＜33，
则n=4或5，
则4+5=9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列通项公式及前n项和公式的应用，指数函数比较大小，考查计算能力，属于中档题．