Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形的面积为$\sqrt{3}$，圆C方程为（x-a）²+（y-b）²=（$\frac{a}{b}$）²．
（1）求椭圆及圆C的方程；
（2）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）C（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx，与圆的方程联立化为：（1+k²）x²-（4+2k）x+1=0，由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，可得（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，即（1+k²）x₁x₂-（2+k）（x₁+x₂）+7=0，
把根与系数的关系代入解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=4．
（2）C（2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l的斜率存在，设直线AB的方程为：y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+k²）x²-（4+2k）x+1=0，
△=（4+2k）²-4（1+k²）＞0，解得：$k＞-\frac{3}{4}$．
∴x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{4+2k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，∴（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-（2+k）（x₁+x₂）+7=0，
∴（1+k²）×$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-（2+k）×$\frac{4+2k}{1+{k}^{2}}$+7=0，
化为：3k²-4k=0，
解得k=0，k=$\frac{4}{3}$．
∴直线l的方程为y=0，或y=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．